对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如（ab＞0）的函数。对勾函数是由正比例函数和反比例函数叠加而得的函数，其图象是两个勾，位于直线x=0和直线y=ax之间，无限地与直线靠近，但永远也不能相交。“对勾函数”这个名称由其图象而得，又被称为“双勾函数”“勾函数”“对号函数”“双飞燕函数”等，常见a=b=1。
对勾函数的一些妙用可体现在：基本不等式中的应用、二次不等式恒成立中的应用、对勾函数处理二次函数根的分布问题。
函数定义
所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a\u003e0，b\u003e0)的函数。
性质
图像
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线。在第一象限内，其转折点为
最值
当x\u003e0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a\u003e0，b\u003e0），也就是当时，f(x)取最小值。
奇偶和单调性
奇偶性
对勾函数是函数奇偶性。
单调性
令，那么：
增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x\u003c0}和{x|0\u003cx≤k}
变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线
对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
注：对勾函数的图像是双曲线。实际上该图像是轴对称的，并可以通过双曲线的标准方程通过旋转角度得到。
均值不等式
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道
展开，得，即 .
两边同时加上2ab，整理得，
两边开平方，就得到了均值定理的公式：
将 中 看做a，看做b代入上式，得
这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
导数求解
其实用导数也可以研究对函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：,。x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有，求导方法一样，求得的导函数为，令f'(x)=0，计算得到，结果仍然是，如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用哪个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在x\u003e0的基础上的，不过对勾函数是函数奇偶性，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变换也是可以得到的。
另外对于圆锥曲线，它只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。
由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。
其它解法
面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：⑴它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；⑶众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。能否与均值有关系。
重点
对勾函数的一般形式是：
(a\u003e0) 不过在高中文科数学中a值多半仅为1，b值不定。理科数学变化更为复杂。
定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）
值域为
当x\u003e0，有，有最小值是
当x\u003c0，有x=-根号b/根号a，有最大值是：
对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a\u003e0），它的单调性讨论如下：
设x1\u003cx2，则
下面分类进行讨论：
⑴当时，，所以，即，所以函数在上是增函数
⑵当 时，，所以，即，所以函数在上是减函数
⑶当 时，，所以，即，所以函数在（0，根号a）上是减函数
⑷当 时，，所以，即，所以函数在（根号a，+∞）上是增函数
解题时常利用此函数的单调性求最大值（max）与最小值（min）。
例题
2006年高考上海市数学试卷（理工农医类）
已知函数 有如下性质：如果常数a\u003e0，那么该函数在 上是减函数，在，上是增函数．
⑴如果函数 （x\u003e0）的值域为 [6,+∞），求b 的值；
⑵研究函数 （常数c \u003e0）在定义域内的单调性，并说明理由；
⑶对函数 和（常数a \u003e0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）