均值定理是指对于任意两个正实数a、b，都有。其中，为a、b的算术平均数，为a、b的几何平均数。均值原理的证明就是基于完全平方公式的推理。
定义
均值定理：对于任意两个正实数a、b，都有
当且仅当时，等号成立。
注：运用均值不等式求最值条件
① ， ；
②a和b的乘积ab是一个定值（正数）；
③等号成立条件。
相关重要不等式：
① ；
② ；
③ 。
几何含义
一个矩形的长为a，宽为b，画两个正方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长相同，如图1所示。第一个正方形的面积为ab，则其边长为 ；第二个正方形的周长为，边长为 。可以看出第一个正方形面积不大于第二个正方形，即边长关系。
推广
均值不等式
均值定理可进行推广，得到更为通用的均值不等式： 。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：对于任意非负实数 ，有
，即调和平均数；
，即几何平均数；
，即为算术平均数；
，即为平方平均数。
例题
（1）当 时，求的最大值。
解：
当且仅当 ，即 时， 取最大值8。
（2）当 时，求函数 的最小值。
解：
当且仅当 ，即 时，取最小值3。