等差数列（英文：arithmetic progression）是指从第 2 项起，每项与它的前一项的差等于同一个的数列，其通项公式为：an=a1+(n-1)d，其中首项为a1，公差为d。等差数列的前n项和Sn称为一个等差级数，也称算术级数。
数列的发现可以追溯到古希腊时期，毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们通过画点或用小石子来表示数，将按照一定顺序排列的一列数称为数列。等差数列前n项和也有悠久的历史，阿拉伯数学家阿尔·卡克希在《代数之荣耀》中记载了他用倒序相加法推导了并应用于一般等差数列的求和公式；古代中国数学家在《九章算术》中也对公式进行了探索。
等差数列的通项、前n项和有很多重要结论。与该数列相关的概念有函数以及行列式等。利用逐差法等方法可推倒得出n阶差数列，r阶等差数列。对于数论中算术级数中的素数问题，格林—陶定理做出了重要贡献。等差数列有很多经典例题，如，求最值项问题，在其他领域问题的求解中，也可以利用它的性质及公式。
历史背景
数列的起源
传说古希腊毕达哥拉斯（约公元前570-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,将按照一定顺序排列的一列数称为数列。
前n项和公式的发现
历史上早已有关于等差数列求和公式的记载，有的还给出了公式的推导，如，古希腊毕达哥拉斯学派利用沙粒或小石子排列成正三角形求出等差数列{n}的前n项和；古印度阿耶波多在《阿耶波多历算书》中给出；古埃及纸草书，如加罕纸草书也给出公式;阿拉伯数学家阿尔·卡克希(AI-Karkhi, 953—1029)在《代数之荣耀》中记载了他用倒序相加法推导了并应用于一般等差数列的求和公式；《九章算术》衰分、均输、盈不足等章中都记载了等差数列的有关问题;南宋数学家杨辉利用面积法求出等差数列{n}的前n项和公式，利用体积法求出数列{n}、{n2}、{n3}的前n项和公式；北宋政治家、科学家沈括在《梦溪笔谈》中提到用“隙积术”的方法来解决数列{n2}的前n项和问题。
定义
数列的定义
所谓数列或序列就是数的集合，它的元素是用自然数编号一个一个排列起来的。与函数相结合后可以给数列定义为：函数，当其自变量x只取自然数，其所对应的函数值的全体组成一个集合，这个集合就叫做数列。
等差数列的定义
（为正整数，为常数）
那么为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前项与后一项的等差中项。
在等差数列中，若则这个数列是递增数列。若 ，则这个数列是递减数列。若，则这个数列是常数数列。
相关公式
通项公式
如果等差数列的首项是，公差为，根据等差数列的定义有下列关系：
，
，
……，
（）。
由此可得，等差数列的通项公式为：
这个公式给出了 ,,, 四个量之间的关系。如果已知其中三个量，就可以求出另外一个量。
等差数列任意两项还存在如下的关系：
等差数列中等差中项与前后两项存在关系：
前n项和
一般地，记等差数列的前项依次为，，……，，，公差为，它的前项和是，则
。
也就是说，等差数列的前项和等于首末两项之和与项数的乘积的一半。
除了使用和来表达外，还可以将等差数列的通项公式代入，用和公差来表示。
这两个公式涉及 ,（或）,,四个变量的关系，只要知道其中任意三个，就可以求出第四个。等差数列的前n项和称为一个等差级数，也称算术级数。
的几何意义为梯形的面积。a1，an分别表示梯形的上底和下底，n表示梯形的高。
前n项积
记等差数列 前 项积为，通过观察，可直接得到它的前 项积公式。
若等差数列的前 项积公式（解析形式）存在，那一定包含阶乘或其衍生运算，为了将结论一般化，先定义一个等差数列 ，其满足如下性质：
2. 当 中有一项为时，也可直接得到结论：
利用数列累乘的原理，可以得到：
对其进行整理，得到结论：
相关推论
数列为等差数列,为公差，为的前项和,则下列结论成立（其中为正整数,为常数）。
与an相关
由于,,成等差数列，得，即
反过来，如果满足,则,,构成等差数列。
（）
特别地，,,三者满足下列关系。
与Sn相关
（）
特别地，,和满足下列关系。
（）
（）
特别地，连续三项,,满足下列关系。
,,满足下列关系。
an与Sn关系
当为奇数时，,和满足下列关系：
当为偶数时，,和公差满足下列关系：
相关概念
函数
函数（函数）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集，假设其中的元素为，对中的元素x施加对应法则，记作，得到另一数集，假设中的元素为，则与之间的等量关系可以用表示，函数概念含有三个要素：定义域、值域和对应法则。其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征。
等差数列的通项公式为，其中d为公差.该通项公式可以看作关于正整数变量n的线性函数，该函数图像是分布在一条直线上的离散的点，其函数表达式为。其中点是共线的。利用其点的共线性，可以解决复杂的数列问题。
级数
数项级数是在数列的基础上定义的，即把数列：的各项依次用“”号连接起来的表达式。等差数列的前项和公式为等差级数。
行列式
行列式起源于人们解线性方程组时分离系数的需要，其作为一种速记的数学符号极大地简化了人们求解多元线性方程组的繁杂过程，随着行列式的相关计算性质加以推广和扩充，行列式自成一体，成为一个独立的分支，常以阶图表形式出现。
任取等差数列中三项,,，三者的关系可以用下列行列式表达。
相关推广
高阶等差数列
定义一
若数列的每一项减去它前面的一项所得的差不相等，则称差数构成的数列为原数列的一阶差数列；在一阶差的基础上同法处理可得二阶差数列；……，当经n次处理后，称该数列为数列的n阶差数列。
由定义1给出的方法称为逐差法. 根据此法可计算出数列的各阶差首项。
故数列的一阶差数列的首项为：
；
二阶差数列的首项为：
；
三阶差数列的首项为：
；
…….
首项公式
这里需要用到二项式定理，所谓二项式定理就是公式右边的多项式叫做的二项展开式，把展开式中各项的系数叫做二项式系数，把展开式中的第项叫做二项式展开式的通项，用表示。
由定义1得数列的n阶差数列的首项为：
；
通项公式
若数列的各阶差首项为，则其通项为：
；
其的系数为二项式定理展开式之各系数排列。
定义二
若数列的第r阶差均相等，我们称数列为r阶等差数列。
由定义2可知，数列的第r阶差均相等，则第r+1阶差数列应为零数列。
若数列为r阶等差数列，则大于r阶的数列首项均为零. 即dk=0 (k=r+1,…,n-1)。
通项公式
定理3 若数列为r阶等差数列，且各阶差首项为d1,d2,…,dr，则：
前n项和
定理4 若数列为r阶等差数列，且各阶差的首项为d1,d2,…,dr， 则：
。
算数级数中的素数
格林—陶定理
素数加法性质的研究牢牢地吸引了一代又一代的职业(和非职业)数学家，在本·格林(BenGreen)和菲尔兹奖得主陶哲轩(Terence Tao)的合作工作中得到了格林—陶定理：
素数集合包含任意长的算术级数。换言之，对于每个整数 ,都有一个素数序列，使得。更精确地，存在着一个常数,使得.
例如，是长度为的算术级数，它仅由素数组成，年， 发现了一个长度为的素数算术级数，其首项约为,当然此类级数的存在是偶然而怪异的，注意定理确保存在任意长的素数算术级数，而非无限长的级数，这是因为当时，显然不是素数。
相关例题
求最值项
在等差数列中,求 的最大(或小)值,其思路是找出某一项,使这项以及它前面的各项皆为正(或负)值或零,而它后面的各项皆为负(或正)值,则从第1项起到该项的各项的和为最大(或小)值。
实例：首项为正数的等差数列，它的前项之和与前项之和相等，问此数列前多少项之和最大？
解法一：由，得：解之得：
由
解之得所以n=7，即前7项和最大。
解法二：由得是递减的等差数列，又知，所以
所以。则必有，，
所以前7项之和最大。
相关应用
化学应用
求烃的分子通式是有机化学经常遇到的问题，烷烃、烯烃、炔烃、苯及其同系物的分子通式分别可以用表示。一些较复杂的芳香烃求其分子通式往往较为困难。尤其是稠环芳香烃，可以用等差数列的方法来求解。
例1.在沥青的蒸气中含有多种稠环芳香烃，其中的一些可视为同系物，如等所示，它们的分子内有偶数个苯环结构。
(1）该系列化合物中，相邻两化合物间递增的中的和的数值分别是=__，=__。
(2）从开始，这一系列化合物中的第个分子式是__。
(3）该系列化合物的最大质量分数为__。
解析：由的结构简式可知，其分子式分别为。由分子式可知，每增加两个苯环，分子中就增加个碳、个氢原子。显然这是以为首项，以为公差的一组等差数列。因此可利用数学的等差数列来解。
其通项：
这样就求得这一同系物的分子通式为：
也就知道了化合物中的第个分子式是：
该系列化合物的质量分数为
当时，的极大值为
轶闻趣事
在德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）10岁的时候，有一天老师给他所在班级的学生出了一道求和题：1到100的自然数相加之和。当其他学生忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯略加思索便很快得到了正确的答案:
1+2+3+……+100=（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=5050。
高斯这种首尾相加的方法也就是现在等差数列的求和思想之一。
参考资料
等差数列.术语在线.2023-07-10
如何求等差数列的前n项积？.知乎.2024-01-06