按一定次序排列的一列数称为数列,而将数列{an} 的第n项用一个具体式子(含有参数n)表示出来,称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样,通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法,通常是由其递推公式经过若干变换得到。
求法
等差数列
对于一个数列,如果任意相邻两项之差为一个常数,那么该数列为等差数列,且称这一定值差为公差,记为 d ;从第一项 a1到第n项 an的总和,记为Sn。
那么,通项公式为
其求法很重要,利用了“叠加原理”的思想:
将以上 个式子相加,便会接连消去很多相关的项,最终等式左边余下,而右边则余下和 个d,如此便得到上述通项公式。
此外,数列前 n 项的和其具体推导方式较简单,可用以上类似的叠加的方法,也可以采取迭代的方法,在此,不再复述。
值得说明的是, 也即,前n项的和 除以 n 后,便得到一个以 为首项,以 为公差的新数列,利用这一特点可以使很多涉及的数列问题迎刃而解。
等比数列
对于一个数列 {},如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数,那么该数列为等比数列,且称这一定值商为公比 q ;从第一项 到第n项 的总和,记为。
那么,通项公式为 (即 乘以q 的()次方,其推导为“连乘原理”的思想:
将以上项相乘,左右消去相应项后,左边余下 , 右边余下和个q的乘积,也即得到了所述通项公式。
此外,当时 该数列的前n项和
当时 该数列前n 项的和
=
一阶数列
概念
不妨将数列递推公式中同时含有 和的情况称为一阶数列,显然,等差数列的递推式为
, 而等比数列的递推式为;这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为: ········☉ , 其中A和B 为常系数。那么,等差数列就是 的特例,而等比数列就是 的特例。
思路
基本思路与方法:复合变形为基本数列(等差与等比)模型;叠加消元;连乘消元
思路一:原式复合(等比形式)
可令········① 是原式☉变形后的形式,即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值,整理①式 后得 这个式子与原式对比可得,
即解出
回代后,令 ,那么①式就化为 , 即化为了一个以为首项,以A为公比的等比数列,可求出bn的通项公式,进而求出 {} 的通项公式。
思路二:消元复合(消去B)
由 ·······☉ 有
··········◎
☉式减去◎式可得······③
令 后, ③式变为 等比数列,可求出 的通项公式,接下来得到 (其中 为关于n的函数)的式子,进而使用叠加方法可求出
二阶数列
概念
类比一阶递归数列概念,不妨定义同时含有an的递推式为二阶数列,而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形,可以先如此诠释二阶数列的简单形式:
, (同样,A,B常系数)
思路
基本思路类似于一阶,只不过,在复合时要注意观察待定系数和相应的项
原式复合:令 原式变形后为这种形式
将该式与原式对比,可得
通过解这两式可得出 ψ与ω的值,
令 , 原式就变为 等比数列,可求出bn 通项公式,
即得到(其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义,即只含有和 两个数列变项,从而实现了“降阶”,化“二阶”为“一阶”,进而求解。
常见类型
累加法
递推公式为且f(n)可以求和
例:数列{},满足,求{an}通项公式
解:
∴
∴
累乘法
递推公式为 且f(n)可求积
例:数列{ }满足,且,求
解:
构造法
将非等差数列、等比数列,转换成相关的等差等比数列
解:为等比数列,,首项是6∴
6.特征根法递推式为 (A,B,C,D是常数)令,原式则为(1)若解得相同的实数根,则可以构造数列{}为等差数列例:{}满足,求解:解得∴{}是等差数列,,首项是∴若解得两个相异实根,则构造{}为等比数列(的位置没有顺序,可以调换)例:{}满足解:由题可得则是等比数列,,首项是∴
7.(3)如果没有实数根,那么这个数列可能是周期数列例:{}中,满足解:所以(准确的应该是有大括号像分段函数那样表示,但是这里无法显示)
连加相减
例:{}满足
解:令
参考资料
求数列通向公式.万方数据.2023-12-28