按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。
求法
等差数列
对于一个数列，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差，记为 d ；从第一项 a1到第n项 an的总和，记为Sn。
那么，通项公式为
其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：
将以上 个式子相加，便会接连消去很多相关的项，最终等式左边余下,而右边则余下和 个d,如此便得到上述通项公式。
此外，数列前 n 项的和其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。
值得说明的是， 也即，前n项的和 除以 n 后，便得到一个以 为首项，以 为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及的数列问题迎刃而解。
等比数列
对于一个数列 {}，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项 到第n项 的总和，记为。
那么，通项公式为 (即 乘以q 的（)次方，其推导为“连乘原理”的思想：
将以上项相乘，左右消去相应项后，左边余下 , 右边余下和个q的乘积，也即得到了所述通项公式。
此外，当时 该数列的前n项和
当时 该数列前n 项的和
=
一阶数列
概念
不妨将数列递推公式中同时含有 和的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为
, 而等比数列的递推式为；这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为： ········☉ , 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是 的特例，而等比数列就是 的特例。
思路
基本思路与方法：复合变形为基本数列（等差与等比）模型；叠加消元；连乘消元
思路一：原式复合（等比形式）
可令········① 是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值，整理①式 后得 这个式子与原式对比可得，
即解出
回代后，令 ,那么①式就化为 , 即化为了一个以为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出 {} 的通项公式。
思路二：消元复合（消去B）
由 ·······☉ 有
··········◎
☉式减去◎式可得······③
令 后， ③式变为 等比数列，可求出 的通项公式，接下来得到 (其中 为关于n的函数）的式子，进而使用叠加方法可求出
二阶数列
概念
类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：
, （同样，A，B常系数）
思路
基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项
原式复合：令 原式变形后为这种形式
将该式与原式对比，可得
通过解这两式可得出 ψ与ω的值，
令 , 原式就变为 等比数列，可求出bn 通项公式，
即得到(其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有和 两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。
常见类型
累加法
递推公式为且f(n)可以求和
例：数列{}，满足，求{an}通项公式
解：
∴
∴
累乘法
递推公式为 且f(n)可求积
例：数列{ }满足，且，求
解：
构造法
将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列
解：为等比数列，，首项是6∴
6.特征根法递推式为 （A，B，C，D是常数）令,原式则为(1)若解得相同的实数根，则可以构造数列{}为等差数列例：{}满足,求解：解得∴{}是等差数列，，首项是∴若解得两个相异实根,则构造{}为等比数列（的位置没有顺序，可以调换）例：{}满足解：由题可得则是等比数列，，首项是∴
7.(3)如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列例：{}中，满足解：所以（准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示）
连加相减
例：{}满足
解：令
参考资料
求数列通向公式.万方数据.2023-12-28